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Grundlegende logische Verknüpfungen

Grundlegende logische Verknüpfungen

Die grundlegenden logischen Verknüpfungen begegnen einem an sehr vielen Stellen in der Informatik und Mathematik. Deshalb ist es wichtig diese Tabellen genau im Kopf zu haben. Glücklicherweise erschließen diese sich meist intuitiv.

 

Falls man aber noch nie etwas von diesen logischen Verknüpfungen gehört hat, oder einem die Tabellen partout nicht einfallen möchten, finden Sie hier eine Übersicht für die grundlegendsten logischen Verknüpfungen in tabellarischer Form.

Grundlegende logische Verknüpfungen

Für alle folgenden Verknüpfungstabellen gelte:

  •  a und b seien (mathematische) Aussagen bzw. Wahrheitswerte.
  • Es gibt nur wahr (1) und falsch (0) und sonst keinerlei weitere Zustände

 

AND, NAND

Intuitiv: Die Verknüpfung ist nur dann wahr, wenn beide Wahrheitswerte war sind, also a UND b wahr sind.

 

a b AND/UND
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Äquivalente Schreibweisen für AND:

a AND b, a&b, ab,  a⋀b

 

a b NAND/Negiertes UND
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

 

Weitere Begriffe für diese Verknüpfung: Konjuktion

OR, NOR

Intuitiv: Die Verknüpfung ist wahr, wenn a ODER b wahr ist, bzw wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist.

a b OR/ODER
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Äquivalente Schreibweisen für OR:

a OR b, a+b, a||b, a⋁b

 

a b NOR/Negiertes ODER
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

Weitere Begriffe für diese Verknüpfung: Disjunktion

XOR

Hinweis: XOR steht für "Exclusive or", also ein exklusives oder. Intuitiv kann man bei dieser Verknüpfung sagen: Die Verknüpfung ist wahr, wenn die beiden Wahrheitswerte unterschiedlich sind, bzw. genau eine der Aussagen wahr ist.

a b XOR/Exklusives ODER
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Implikation

Die Implikation ist weniger Intuitiv als die vorherigen logischen Verknüpfungen. Das liegt daran, dass man sie mit den vorherigen logischen Verknüpfungen abbilden kann. Die Implikation ist aber vor allem für die mathematische Beweisführung von so großer Wichtigkeit, dass sie an dieser Stelle noch einmal als Tabelle aufgeführt wird:

a b => (Implikation)
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Wie lässt sich die Implikation nun mithilfe der vorherigen logischen Verknüpfungen abbilden?

Unter der Beachtung aller Rechenregeln kann man die Implikation wiefolgt auflösen:

a => b = (-a) v b

Wobei  (-a) die Negation von a ist.

Weitere Begriffe für diese Verknüpfung: Subjunktion, oder (für mathematische Beweise) hinreichende Bedingung

Weiterführendes

Beachten Sie, dass diese Liste nicht vollständig ist und auf ausführliche Beweise verzichtet. Diese Seite soll lediglich als Nachschlagewerk dienen und einen kurzen Überblick über die wichtigsten Verknüpfungen geben.

Beim Rechnen mit komplizierteren Ausdrücken sind außerdem Rechenregeln wie Kommutativgesetz, Assotiativgesetz, Idempotenzgesetz und viele weitere zu beachten!

 

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